Четверг, 14.11.2019, 12:24
Приветствую Вас Гость | RSS

МБОУ "Шибертуйская средняя общеобразовательная школа"

Меню сайта
Категории раздела
День знаний [25]
День знаний
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 96
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Задачи на построения

 
 
                                                        Задачи на построения
 
Реализуя проект по учебной дисциплине "Математика" рассмотрели задачи на построения.
В результате  исследованы подготовлены доклады по таким темам как "Построения одной линейкой", "Построения арифметических действий",
"Построения с помощью пятака" и другие. Доклады прочитаны на районных и республиканских  научно-практических конференциях "Шаг в будущее"
 
Геометрические построения арифметических действий
(Автор: Соктоева Сабина, руководитель: Цыбикова Н.Д) 
Введение
 Геометрия – это увлекательный раздел математики. Мой интерес к нему обусловлен красотой и простотой геометрического содержания. При решении конкретных задач мы иногда используем графический метод, то есть численные решения можно получить графически. Такой метод решений основан на геометрических построениях. А можно ли изобразить графически умножение чисел, а деление и другие арифметические действия? А существуют ли способы графических вычислений алгебраических выражений? Меня заинтересовал этот вопрос, и я задалась целью найти ответ на них. Оказывается, что существует ряд интересных и чрезвычайно простых применений графиков к разным арифметическим действиям. Это можно назвать без большого преувеличения геометрической арифметикой. Родоначальником этой области математики отчасти был также Пифагор, так как ему приписывается инициатива в деле связывания арифметики с геометрией. Графический счет сложился, однако, только в ХIХ веке и сразу был перенесен в область практического употребления, несколько примеров, которого будет приведено ниже. Актуальность рассмотрения этих задач возрастает в связи с тем, что является одним из областей прикладной математики, а умение пользоваться графическим методом имеет важное значение в практической деятельности, т.к. постоянно мы сталкиваемся с различными задачами, решение которых этим методом позволяет нам понять суть, «увидеть» решение, осмыслить и организовать математическую информацию в такой области математики, как арифметика. Практическая ценность геометрии не вызывает сомнений и эти задачи нужны и важны для ее показа В данной работе рассмотрены не только так называемые основные построения арифметических действий, но и подробные описания более сложных построений, приводящих к решению арифметических задач.
Цель исследования: выяснить и показать возможность геометрических построений арифметических действий, способы графических вычислений алгебраических выражений
Задачи: обработка материала и его осмысление, поиск решения арифметических задач с помощью геометрии, описание построений, использование собранного материала в учебном процессе Методы исследования: изучение математической литературы, математические методы, графические методы.
 Сложение и вычитание. Методы решения арифметических задач, основанные на геометрических построениях, хотя и не дают высокой точности, но они наглядны и просты. Рассмотрим способы графических вычислений арифметических действий. Сложение и вычитание чисел легко находили с помощью отрезков еще в начальных классах. Чтобы построить а + b на числовой прямой отложим отрезки длиной ОА = а и АВ = b, тогда ОВ = а + b А

В

О

В

О

А

а + b

b

а

А


Рис 1 Умножение. Рассмотрим три способа умножений.
 1) Даны три числа l1, l2, l3 . Надо найти их произведение. На оси Ох (рис. 2а) отложим отрезок ОА, равный произвольно выбранной единице длины. из точки А восстанавливаем перпендикуляр к Ох и откладываем на нем
отрезки: АА1= l1 , АА2= l2 , АА3= l3. Затем откладываем ОВ = АА1 и восстанавливаем из точки В перпендикуляр, который пересечет ОА2 в точке В1. Откладывая ОС = ВВ1, получим точку С и снова восстанавливаем перпендикуляр, который пересечет ОА3 в точке С1 Отрезки ВВ1 и СС1 представляют собой соответствующие произведения l1× l2 , l1× l2× l3, что можно легко доказать, исходя из подобия треугольников ОАА2 и ОВВ1, а также треугольников ОАА3 и ОСС1. Действительно, = , откуда ВВ1= . Но ОА = 1, ОВ = ОА1 = l1, АА2 = l2, следовательно, ВВ1 = l1× l2. Подобным же образом СС1 = ВВ1× l3 = l1× l2× l3. Рис.2а Рис.2б
2) На рисунке 2б показано построение произведения двух чисел а× b = ОА, ОВ = b, ОС = а, ОD =1.
3) По заданному отрезку а найдите произведение .
Решение: Для двух произвольных прямых, пересекающихся в точке О отложим отрезки с длинами m, n, a; затем проведем через точку С прямую СD, параллельную АВ. Из подобия треугольников ОАВ и ОDС следует, что ОD =
Рис. 3
Деление. Два числа, частное от которых требуется получить, обозначим через а и b. (рис.3) Откладываем ОА = 1, ОВ = b и СВ = а. Тогда отрезок АМ даст нам искомое частное. Действительно, = , откуда АМ = . Так как ВС = а, ОА = 1, ОВ = b, то АМ = Рис 3
 Возведение в степень. Число, которое мы должны возвести в какую-нибудь степень, представляем в виде отрезка а (рис.4).
Начертим две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОУ. На оси ОХ отложим ОА =1 и на оси 0У откладываем ОВ = а. Соединяем А с В прямой линией и из точки В восстанавливаем перпендикуляр к этой линии. Этот перпендикуляр пересечет ОХ влево от О в точке С ; из этой точки снова восстанавливаем перпендикуляр к ВС, и т. д. Докажем, что ОС = а2, ОD = а3, ОЕ = а4, и т. д. Основываясь на известной теореме о том, что перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, является средним пропорциональным между отрезками, на которые он делит гипотенузу, получим:
ОА × ОС = (ОВ)2, т.е. ОС = а2 ОВ × ОD = (ОС)2, т.е. а×ОD = а4, откуда ОD = = а3, ОС × ОЕ = (ОD)2, т.е. а2× ОЕ = а6, откуда ОЕ = = а4 и т.д. Рис 4. Комбинируя действия, позволяющие производить сложение, вычитание, умножение и деление, можно тем самым графически вычислять значения многочлена р(х) = а0хп + а1хп-1+ …+ ап при заданных его коэффициентах и заданном х Извлечение квадратного корня.
Способ 1. Достаточно найти отрезок АМ, который являлся бы средним геометрическим для отрезков ОА = 1 и АВ, равного числу N (рис.5). Действительно, АМ = , АМ = . Если N будет большим числом, и отложить его графически не удастся, то можно применить метод, описанный ниже. Рис 5
Способ П. Этот способ основывается на теореме Ферма о том, что каждое целое число - это или полный квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратов. Это означает, что каждое целое число можно разложить на полные квадраты, а затем извлечь из них корни, применяя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. Требуется, например, извлечь квадратный корень из числа 42. Разлагаем это число па полные квадраты: 42 = 12 + 42 + 52 . Рис.6 Построим первый прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 4 (рис.6). Гипотенуза будет равняться . Примем ее за катет нового прямоугольного треугольника, второй катет которого будет равным 5. Гипотенуза этого второго треугольника будет равна . Если данное нам число может быть разложено на полные квадраты многими способами, то следует выбрать из них самый удобный. Например: 28 = 12 + 32 + 32 + 32; 28 = 22 + 22 + 22 + 42; 28 = 12 + 12 + 12 + 52; 28 = 82 - 62. Самым удобным будет последнее равенство. Достаточно построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого будет равняться 8, а один из катетов равен б, как второй катет даст нам . Рис.7. При других вариантах можно пользоваться ступенчатым строением прямоугольных треугольников, из которых первый имеет оба катета, равные каждый 1 (рис.8). Гипотенуза такого треугольника дает . Строя дальше треугольники согласно прилагаемому рисунку, будем получать гипотенузы, равные поочередно , , и т. д. Рис.8
Суммирование чисел в натуральном числовом ряду Интересны результаты графического изображения суммы некоторых особенных прогрессий. Они очень наглядно подтверждают результаты, достигнутые чисто арифметическим путем. Известно, например, графически такую прогрессию можно представить в виде квадрата, сторона которого, а следовательно, и площадь, равняется единице. (см. Приложение).
 Рассмотрим сумму простых чисел натурального ряда.
Рис.9 Присмотримся к фигуре АЕFD (рис 9 ), образованной из прямо- угольников, составленных из 1, 2, 3, 4, …, n равных квадратиков, из которых каждый представляет единицу площади. Площадь фигуры АЕFD представляет собой сумму S простых чисел натурального ряда. Если присоединить к ней сверху Рис 9 такую же фигуру ЕFСВ, то получится прямоугольник АВСD, который как это видно непосредственно из рисунка, содержит n (n+1) квадратиков и площадь которого будет, конечно, равна 2S. Отсюда формула S = . До сих пор мы занимались исключительно графическим представлением и решением арифметических задач. А можно ли решить задачу противоположного характера, исходным пунктом которой является некоторая графическая идея, а результат дает интересные арифметические выводы? Окружность разделена на некоторое число равных дуг АМ, МN, NР, РQ и т. д. (рис. 10). Точки А, М, N, Р, Q и так далее соединены с центром О прямыми, которые являются Рис 10. радиусами этой окружности. Из точки А опустим на радиус ОМ перпендикуляр АВ1; из точки В также опускаем перпендикуляр Вb на ОN, и т. д. Интересно будет найти суммы всех этих перпендикуляров, образующих как бы спираль, выходящую из А и устремленную к точке О. Нетрудно убедиться, что линия АВ1bс1сd1d ... будет по своей длине одинаковой с ломаной линией АВ1ВС1СD1D...
Известно также, что отрезки АВ’, ВС’, СВ’,... образуют геометрическую прогрессию и что отрезки В1В, СС1, D1D … образуют геометрическую прогрессию с таким же самым знаменателем.
Более того, все отрезки АВ1, В1В, ВС1, С1С, СD1, D1D’,… являются членами одной геометрической прогрессии, как это следует из равенства отношений:
… Следовательно, длина ломаной линии АВ1bс1сd1d равна сумме членов некоторой
геометрической прогрессии.
Заключение
Итак, вопрос о возможности решения арифметических задач с помощью геометрических построений решен. Оказывается, что существует ряд простых способов наглядного (графического) представления арифметических действий. Мною в данной работе представлены не только способы графических вычислений арифметических действий, но и возможность применения графиков к различным алгебраическим выражениям. Большой интерес вызвал применение геометрических построений при нахождении суммы некоторых особенных прогрессий. Также составлен небольшой сборник таких задач. Непосредственное применение изложенный материал может иметь не только на уроках математики, но и в практической деятельности.
 
Корзина
Поиск
Календарь
«  Ноябрь 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930
  • Сайт учителя начальных классов Цыдыповой О.Д.
  • Сайт учителя начальных классов Чимитовой Ж.Ц.
  • Сайт учителя математики Цыбиковой С.Г.
  • Сайт учителя русского языка и литературы Будаевой Т.Ц.
  • Сайт учителя истории и обществознания Бадмаевой М.Б.
  • Сайт учителя русского языка и литературы Очировой Л.Ц.
  • Сайт учителя физики Цыдыпова Б.Ц.
  • Сайт Будажаповой Сержуни Дамбаевны

  • Copyright MyCorp © 2019
    Создать бесплатный сайт с uCoz